皆さん、こんにちは
チョークです
計算の裏技その２
今回は、昨日に続き、計算の裏技その２です
突然ですが、５４×５６を暗算でパッと計算できますか？
答えは３０２４です
計算方法
まず結論をいうと、計算方法は、十の位の数字である「５」とそれに１を足した「６」が千の位、百の位を構成します
つまり、「５×（５＋１）＝３０」なので、千の位が「３」、百の位が「０」になります
次いで、掛けられる数の一の位である「６」と掛ける数の一の位である「４」を掛けた数字が十の位と一の位を構成します
つまり、「６×４＝２４」なので、十の位が「２」、一の位が「４」になります
これを覚えると一瞬で２桁の掛け算ができます
使える条件
すごい！と思った方もいるでしょうが、これは万能ではなく、一定の条件下でしか使えません
具体的には
①掛けられる数と掛ける数の十の位が同じ数字であること
②掛けられる数と掛ける数の１の位の数字が足して１０になるペアであること
の二つです
証明
以上を前提に、①②の条件下では先に述べた計算方法が一般的に妥当することを証明します
まず、１０の位は同じ数字なので、「ａ」とします（①）
ついで、掛けられる数の１の位の数字をｂ、掛ける数の一の位をｃとすると「ｂ＋ｃ＝１０」が成り立ち（②）これより、「c＝10－b」が導かれます（②’）
そうすると、掛けられる数は「10×a＋b」、掛ける数は「10×a＋c」と表すことができます
そして
(10×a+b)×(10×a+c)＝(10×a+b)×(10×a+10-b)
＝(100×a×a)+(100×a)-(10×a×b)+(10×a×b)+(10×b)-(b×b)
＝a×(a+1)×100+b×(10-b)
＝a×(a+1)×100+b×c
となります
そして、a×(a+1)はaが１～９の自然数であるため、２～９０となるためその積は１桁ないし２桁であるためこれに１００を掛けていることからa×(a+1)は千の位と百の位を構成し、ｂ、ｃはともに１ケタの自然数であるからその積も同じく１桁ないし２桁となるためｂ×ｃは十の位と一の位を構成します
